DOE×AI 教學報告 — 伺服器散熱模組 RSM 最佳化（完整版）

背景A1. 為什麼伺服器散熱是 AI 時代的關鍵戰場

AI 與高效能運算讓處理器功耗一路攀升——主流伺服器 CPU 的 TDP 已達 350W 等級、加速卡更高，機櫃功率密度從過去的幾 kW 推向數十 kW。散熱能力直接決定三件事：效能（過熱會觸發降頻 thermal throttling）、可靠度（依 Arrhenius 法則，元件溫度每升高約 10°C，壽命約減半）、與營運成本（系統風扇可佔整機功耗 10–20%，直接影響資料中心 PUE 與電費）。

0W單顆 CPU TDP（本案例 ×2）

0%風扇功耗佔整機比例可達

0×溫度每降 10°C，壽命約提升

0°C本案例 CPU 頂蓋溫度規格上限

散熱工程師手上的兩把武器——風扇轉速與散熱器設計——彼此衝突：轉速拉高降溫快但功耗與噪音暴增；鰭片加密增加散熱面積卻也增加流阻。「該怎麼配」正是 DOE 反應曲面法要回答的問題。

案例A2. 案例設定：2U 伺服器散熱模組

熱流團隊要為 2U 雙路伺服器（CPU TDP 350W×2）決定散熱模組的設計與操作點。三個因子中，x1 風扇轉速（9,000–15,000 RPM）與 x2 散熱鰭片數（30–50 片）是可控的設計/操作變數；x3 進風溫度（25–35°C）則是資料中心環境決定的雜訊因子——我們不能控制它，但必須在它的最壞情況下依然達標。

目標：Y1 CPU 頂蓋溫度 T_cpu ≤ 85°C（望小）；Y2 風扇總功耗 P_fan 最小化（望小）。兩者天生衝突 → 多反應最佳化。數據來源：CFD 模擬（Icepak）＋風洞量測驗證。

工程A3. 工程知識①：熱阻鏈 — 熱像電流，溫差像電壓

把熱傳問題看成電路：熱功率 P 是「電流」，溫差是「電壓」，每一段材料/介面是「電阻」。CPU 溫度 = 進氣溫度 + 熱功率 × 總熱阻。這解釋了迴歸結果的物理意義：

T_cpu ≈ T_in + P_heat × ( R_TIM + R_base + R_fin(轉速, 鰭片) )

對照統計結果：x3（進風溫度）的迴歸係數為 +4.82（coded），換算實際單位 = 4.82 ÷ 5°C ≈ +0.96°C / +1°C——進氣每熱 1°C，CPU 幾乎全額熱 1°C，正是「T_in 直接墊高起點」的熱阻鏈預測。統計與物理相互印證！

工程A4. 工程知識②：風扇定律與鰭片的兩難

風扇相似定律（Affinity Laws）：風量 Q ∝ N、靜壓 ΔP ∝ N²、功耗 P ∝ N³。轉速加倍，風量只加倍，電卻要吃 8 倍——這就是為什麼「無腦拉轉速」是最貴的散熱方案。

迴歸模型完美捕捉了這件事：P_fan 的 x1 係數 +28.4 加上 x1² 係數 +6.8（皆極顯著），正是三次方曲線的二階近似；而 T_cpu 對 x1 的報酬卻遞減（x1² = +2.5 > 0）。

鰭片的兩難：鰭片越多 → 散熱面積越大（R_fin↓），但流道越窄 → 風阻越大、風量掉。所以 T_cpu 的 x2²（+1.8）為正——存在最適鰭片數，不是越多越好；x1·x2 交互作用（+1.8）也顯著——高轉速時加密鰭片的邊際效益變差。

DOEA5. 為什麼用 CCD？20 次實驗學會一張曲面

想配適二階曲面，每個因子至少要 3 個水準。若用網格法 5×5×5 = 125 次實驗；CCD 只用 20 次就同時做到：角點×8 估主效應與交互作用、軸點×6（伸出 ±1.682）估曲率（平方項）、中心點×6 重複量測估計純誤差——這也是能做 Lack-of-Fit 檢定（模型夠不夠用）的關鍵。旋轉式 α=1.682 讓預測變異在等距離處相等，曲面各方向一樣可信。

🎛️ A6. 虛擬實驗台 — 拖動滑桿，體驗取捨（由 RSM 精簡模型即時預測）

風扇轉速：12000 RPM　🌀 散熱鰭片數：40 片進風溫度（環境雜訊因子）：30.0 °C

預測 CPU 溫度 T_cpu--規格上限 85°C

預測風扇功耗 P_fan--越低越省電

綜合期望值 D--0（差）～ 1（理想）

模型：T_cpu 與 P_fan 之精簡二階迴歸式（Adj-R² = 99.3% / 99.8%）。試著在 35°C 進風下同時滿足 T ≤ 85°C 且功耗最低，再對照第 6 節 Desirability 的數學解。

Part B｜RSM 統計分析報告（完整數據與圖表）

以下為本案例的正式統計分析：ANOVA、Lack-of-Fit、迴歸方程式、反應曲面、Desirability 最佳化與殘差診斷

★ 執行摘要：建議條件（Maximize Desirability）

在最壞情況進風溫度 35°C 下，以綜合期望函數（T_cpu 望小：85→70°C；P_fan 望小：100→30W；等權重、幾何平均）最佳化：

風扇轉速12589 RPM(x1=0.20)

散熱鰭片數52 片(x2=1.18)

預測 T_cpu78.7 °C≤ 85°C ✓

預測 P_fan64.0 W

綜合期望值 D0.465d1=0.42, d2=0.51

標稱進風 30°C 時最佳點：11664 RPM、53 片 → T_cpu 75.6°C、P_fan 54.9W（D=0.634）。

工程建議：鰭片數取設計上緣 50–52 片（模具/風阻可行範圍內），風扇日常以 11500–12000 RPM 運轉、進風 35°C 時提速至約 12600 RPM。切勿以拉高轉速取代鰭片優化——轉速對功耗為強非線性（P ∝ RPM³），對降溫報酬遞減。建議於推薦點執行 3 次確認實驗（confirmation runs）驗證預測。

1. 實驗設計與數據

CCD 旋轉式設計（α=1.682）：2³ 全因子 8 runs + 軸點 6 runs + 中心點 6 runs（黃底，用於估計純誤差）。

Std	Run	x1	x2	x3	轉速(RPM)	鰭片數	進風(°C)	T_cpu(°C)	P_fan(W)
1	14	-1	-1	-1	9000	30	25	92.2	31.1
2	3	-1	-1	1	9000	30	35	103.2	34.1
3	5	-1	1	-1	9000	50	25	77.4	33.3
4	15	-1	1	1	9000	50	35	89.7	34.8
5	10	1	-1	-1	15000	30	25	74.6	85.0
6	12	1	-1	1	15000	30	35	82.7	87.5
7	4	1	1	-1	15000	50	25	67.7	95.4
8	9	1	1	1	15000	50	35	75.4	92.4
9	8	-1.682	0	0	6950	40	30	98.8	26.3
10	16	1.682	0	0	17050	40	30	72.3	121.8
11	17	0	-1.682	0	12000	23	30	91.4	49.8
12	13	0	1.682	0	12000	57	30	75.7	59.0
13	19	0	0	-1.682	12000	40	21.6	71.5	54.5
14	1	0	0	1.682	12000	40	38.4	87.4	55.5
15	7	0	0	0	12000	40	30	78.3	55.6
16	6	0	0	0	12000	40	30	79.7	54.4
17	18	0	0	0	12000	40	30	77.6	53.8
18	20	0	0	0	12000	40	30	78.5	56.7
19	2	0	0	0	12000	40	30	77.9	53.7
20	11	0	0	0	12000	40	30	77.3	56.0

2. 因子顯著性 — Pareto 圖（完整二階模型）

橘色 = 顯著（p<0.05）；灰色 = 不顯著。T_cpu 之 x3²、x2·x3 不顯著；P_fan 幾乎僅由轉速主導（x1、x1²），x2·x3 雖 p=0.038 屬邊際顯著，但無物理機制（進風溫度不影響風扇功耗），且違反模型階層原則（x3 主效應不顯著），故於精簡模型中剔除。

3. ANOVA 與缺適性檢定（Lack-of-Fit）— 完整二階模型

Y1：T_cpu（CPU 溫度）

來源 Source	DF	SS	MS	F	p-value
模型 Model	9	1659.08	184.34	322.9	<0.0001
x1	1	833.13	833.13	1459.5	<0.0001
x2	1	347.65	347.65	609.0	<0.0001
x3	1	317.42	317.42	556.1	<0.0001
x1^2	1	92.69	92.69	162.4	<0.0001
x2^2	1	48.21	48.21	84.5	<0.0001
x3^2	1	2.08	2.08	3.6	0.0856
x1*x2	1	24.85	24.85	43.5	<0.0001
x1*x3	1	7.03	7.03	12.3	0.0056
x2*x3	1	0.10	0.10	0.2	0.6825
殘差 Residual	10	5.71	0.571
缺適性 Lack-of-Fit	5	2.10	0.420	0.58	0.7165
純誤差 Pure Error	5	3.61	0.722
總和 Total	19	1664.79

單位：°C²。缺適性 p = 0.7165 > 0.05 → 二階模型適足 (adequate)，無缺適性問題。

Y2：P_fan（風扇功耗）

來源 Source	DF	SS	MS	F	p-value
模型 Model	9	11789.33	1309.93	1227.1	<0.0001
x1	1	11001.25	11001.25	10305.5	<0.0001
x2	1	83.02	83.02	77.8	<0.0001
x3	1	2.36	2.36	2.2	0.1676
x1^2	1	658.77	658.77	617.1	<0.0001
x2^2	1	0.50	0.50	0.5	0.5103
x3^2	1	0.01	0.01	0.0	0.9249
x1*x2	1	19.22	19.22	18.0	0.0017
x1*x3	1	3.13	3.13	2.9	0.1179
x2*x3	1	6.13	6.13	5.7	0.0376
殘差 Residual	10	10.68	1.068
缺適性 Lack-of-Fit	5	2.94	0.588	0.38	0.8438
純誤差 Pure Error	5	7.73	1.547
總和 Total	19	11800.01

單位：W²。缺適性 p = 0.8438 > 0.05 → 二階模型適足 (adequate)，無缺適性問題。

4. 精簡模型與迴歸方程式

Y1: T_cpu 精簡模型

S = 0.811 °C

R² = 99.53%

Adj-R² = 99.25%

Pred-R² (PRESS) = 98.84%

Y2: P_fan 精簡模型

S = 1.233 W

R² = 99.81%

Adj-R² = 99.76%

Pred-R² (PRESS) = 99.65%

係數表（coded units）— T_cpu

項 Term	係數 (coded)	SE	t	p
常數 Constant	78.536	—	—	—
x1	-7.810	0.219	-35.60	<0.0001
x2	-5.045	0.219	-23.00	<0.0001
x3	4.821	0.219	21.98	<0.0001
x1^2	2.498	0.212	11.76	<0.0001
x2^2	1.791	0.212	8.43	<0.0001
x1*x2	1.763	0.287	6.15	<0.0001
x1*x3	-0.938	0.287	-3.27	0.0067

係數表（coded units）— P_fan

項 Term	係數 (coded)	SE	t	p
常數 Constant	54.909	—	—	—
x1	28.381	0.334	85.05	<0.0001
x2	2.465	0.334	7.39	<0.0001
x1^2	6.774	0.322	21.05	<0.0001
x1*x2	1.550	0.436	3.55	0.0029

迴歸方程式（coded units：x1、x2、x3 ∈ [−1.682, +1.682]）

T_cpu = 78.54 -7.81·x1 -5.05·x2 +4.82·x3 +2.50·x1² +1.79·x2² +1.76·x1·x2 -0.94·x1·x3

P_fan = 54.91 +28.38·x1 +2.47·x2 +6.77·x1² +1.55·x1·x2

迴歸方程式（actual units：RPM、Fins 片、T_in °C）

T_cpu = 175.36 -0.00974·RPM -2.6423·Fins +1.7142·T_in +2.776e-07·RPM² +0.01791·Fins² +5.875e-05·RPM·Fins -6.250e-05·RPM·T_in

P_fan = 64.71 -0.01067·RPM -0.3735·Fins +7.527e-07·RPM² +5.167e-05·RPM·Fins

物理解讀：x1·x2 交互作用為正 → 高轉速 + 高鰭片數同時使用時降溫效益遞減（鰭片過密增加流阻）；x2² 為正 → 鰭片數存在最適區間，非越多越好；P_fan 的 x1² 為正反映風扇定律 P ∝ RPM³ 的二階近似。

5. 反應曲面圖 Response Surface（3D）與等高線圖 Contour

5.1 T_cpu @ 進風 35°C（最壞情況）— 紅色虛線為 85°C 規格限

5.2 T_cpu @ 進風 30°C（標稱）

5.3 P_fan（不受進風溫度影響）

6. 多反應最佳化 — Desirability 期望函數

d1(T_cpu)：85°C→0、70°C→1（望小）；d2(P_fan)：100W→0、30W→1（望小）；D = √(d1·d2)。

重疊等高線圖（Sweet Spot / 可行操作窗）

7. 殘差診斷（模型假設檢查）

標準化殘差落於 ±2 之內、常態機率圖近似直線 → 常態性與等變異假設成立，迴歸模型有效。

8. 結論與後續行動

① 兩個反應之二階模型均高度顯著（p<0.0001），缺適性檢定不顯著（T_cpu p=0.7165、P_fan p=0.8438），Pred-R² 與 Adj-R² 差距小，模型可用於預測與最佳化。 ② T_cpu 主要由轉速與鰭片數控制，進風溫度為不可控環境（雜訊）因子，每 +5°C 使 T_cpu 上升約 4.8°C，設計必須以 35°C 最壞情況驗證（可銜接田口穩健設計）。 ③ 建議條件：鰭片 ~52 片、轉速 ~12589 RPM，進風 35°C 下預測 T_cpu 78.7°C（餘裕 6.3°C）、P_fan 64.0W。 ④ 後續：於建議點執行 3 次確認實驗；若需進一步降功耗，可探索鰭片厚度/間距、熱管配置等新因子（新一輪 DOE）。